明捷數學隨談（2）：拓撲學的奇思妙想

《明捷數學隨談（2）:拓撲學的奇思妙想》

By 明捷

明捷是我的高中同學，跳級來到我們高中的尖子班，學霸。令人矚目的是數學成績格外突出，這一定有遺傳的因素，明捷的父親是大學數學教授，母親是高中數學教師。在1980年的高考中，明捷的成績名列前茅。他就讀於中國科技大學，後來又在中美兩國獲得碩士和博士學位。目前他在最著名的汽車公司工作，業餘時間，還會對數學念念不忘。在高中微信群里，他寫了一些在數學領域挑戰極限的人和事，十分有趣，大家建議他整理成文，發表出來，讓更多的人看到。不負眾望，一篇《明捷數學隨談：挑戰極限的人》一文，應運而生了。他沒有註冊任何網站，我就受他之託，將此文分享給大家。下面就是全文之二：拓撲學的奇思妙想。

【五．歐拉和圖論的產生】

18世紀早期，東歐位於現俄羅斯境內有一個叫做柯尼期堡的小城。城中有一條河流過，形成了一個小島，有7座石橋將小島及河的對岸相連。城中的居民閑暇時喜歡到小島上散步。久而久之，有人想搞點事情，他們聲稱，是否能找到一條散步路線，可以經過這7座橋，而且每座橋只經過一次？越來越多的人開始嘗試這個挑戰，但都沒有成功。

（七座橋和圖論）

於是他們找到了時任俄羅斯皇家科學院院士的大數學家歐拉，請他幫忙找一個方法。歐拉告訴他們，這可以歸結為一個數學問題，在這個問題中，橋的長度，位置以及城區的面積等等都不重要。他將每座橋用一條線來代替，而每塊陸地則用一個點來代替，在這個抽象後的問題中，重要的是整個圖形的連通性。歐拉對這個抽象的模型用了一些邏輯分析，然後告訴柯尼斯堡的居民說，你們想要的那個一次性走完7座橋的方法是不存在的。歐拉的這個方法，形成了一個新的數學分支：圖論。

（歐拉）

【六．拓撲學的來歷】

歐拉借柯尼斯堡七橋問題開創了圖論。他這種在處理區域問題時忽略具體形狀，尺寸，位置而突出聯通性的思想在100多年後被人引伸，形成了現代數學的一個活躍的新分支：拓撲學。從拓撲學的角度看一個空間區域，傳統幾何學中的尺寸，距離，角度等概念都消失了。一個立方體面和一個球面，不論大小，都是拓撲等價的，但一個球面和一個輪胎面則不是等價的，因為輪胎孔改變了區域的流通性。拿一團面揉揉，做成一個饅頭；或者把它扭一下，做成一個花捲；再或者把它先拉得細長，再扭一下，做成一根油條。在拓撲學家看來，這些沒有差別。但如果把這團面做成面窩（武漢人都知道，面窩其實不是用面做的），在拓撲上就不同了，因為中間挖了一個孔，聯通性變了。有人也許會說，這些數學家太喜歡搞事情了，本來幾何學就已經夠讓人頭痛了，現在又整出個拓撲學，有啥用呢？

拓撲學在剛開始時完全是出於數學家的興趣，沒有實際用途。但隨著時間的推移，逐漸開始應用在科學，工程和醫學上。科學家們嘗試用拓撲圖形來解釋廣義相對論所預測的宇宙空間。在工程結構分析行業中，有一種方法稱為拓撲優化，被廣泛地應用於各種工程結構的設計中。例如設計一種飛機的機翼，先簡單地將它設計成實心的，把根據空氣動力學方法計算出來的外力加在這個機翼上，得到內部應力的分布，然後挖去應力較小部位的材料，就形成了一個空心機翼，這樣即保證了機翼的強度，又實現了結構輕量化。這項技術需要用到拓撲變換的概念。

近年來在醫學上出現了一種稱為虛擬腸鏡的技術，即通過掃描得到人體大腸的一組剖面圖，然後用拓撲分析的方法尋找大腸內可能的腫瘤。數學家還試圖將拓撲學應用在人體整形中。

【七．龐加萊猜想與佩雷爾曼】

150多年前誕生的法國數學家龐加萊被稱為現代拓撲學之父，他也被一些人尊為近代最偉大的數學家。＂最偉大＂這個詞常常會讓人表示不服，但龐加萊至少是近代數學界東邪，西毒，南帝，北丐一類的人物。1900年，龐加萊提出，能否將曲面的拓撲等價性推廣到更高維空間中。例如，我們現在知道一隻兔子的體表面和球面是拓撲等價的，那麼在高一維的空間中，這種等價性是否也成立呢？這個想法讓問題變得相當抽象。兔子的外表面和球面是我們肉眼能看見的，但高維空間中曲面是什麼樣的，誰能想像呢？

（龐加萊）

中央電視台曾邀請數學大師丘成桐教授做了一個一小時左右的節目，節目中丘教授展示了一張由計算機模擬得到的高維曲面，神秘而美幻。當時有觀眾考了丘教授一個智力題，用到加減乘除運算，丘教授沒有答上來，他打趣地說，數學家的算術都不好。總之，龐加萊提出的這個命題相當抽象，被公認為20世紀7大數學難題之一。

（丘成桐）

龐加萊的猜想提出後，接下來30多年裡在數學界並沒有引起什麼動靜，也許那時學科的發展還沒有達到解決這個問題的門檻。龐加萊在1912年58歲時就去世了，他大概想像不到100年後，他的這個猜想在數學界激起的一系列波瀾。

龐加萊猜想提出約半世紀後，陸續有人聲稱給出了證明，但接著就被推翻。直到上世紀末，堅硬的凍土開始有些鬆動。2000年，美國格雷數學研究所將龐加萊猜想列為千禧年難題，懸賞一百萬美元尋求最終的證明。一石激起千層浪，世界各地的數學家們由此預感到了契機，紛紛出山，意欲逐鹿中原。一時間江湖上風聲鶴唳，劍拔弩張。終於在兩三年後，一代大俠橫空出世，俄羅斯人佩雷爾曼率先在互聯網上宣布，證明了龐加萊猜想。他沒有按常規將論文投到正規的學術期刊由專家審稿，而是直接在一個網站上登了出來。

（佩雷爾曼）

說起這個佩雷爾曼，原非等閑之輩。他於1966年出生於前蘇聯一個猶太人家庭，父親是工程師，母親是數學老師。1982年，16歲的佩雷爾曼參加國際奧數大賽，得了滿分，為前蘇聯贏得一枚金牌。高中畢業後他獲免試進入聖彼得堡大學，在數學專業一直讀到博士畢業，然後進了當地的一個數學研究所工作。1991年，前蘇聯解體，佩雷爾曼的父親決定移民以色列，但他母親堅決不肯移民。於是他父親帶著他妹妹去了以色列，他和母親留在聖彼得堡。上世紀九十年代，佩雷爾曼有幾年時間遊學美國，其間曾輕而易舉地解決了一個公開的數學難題。美國幾所頂尖名校表示願意聘他為助理教授，但他嫌職位太低，不予接受。在一次聚會上，他和一名叫漢密爾頓的年青數學家交談，對方告訴他自己正在研究龐加萊猜想，這激發了他的興趣，他決定返回聖彼得堡，開始對龐加萊猜想的研究。

以後10多年發生的事情表明，佩雷爾曼是一個視名利如糞土的人。他決定解決龐加萊猜想，完全出於專業上的興趣，和獲大獎及高額賞金無關。在那次聚會上和漢密爾頓的偶然交談，使他在無意中捲入了世紀之交的那場群雄爭霸的場面。在潛心研究龐加萊猜想幾年後，到了2002年，佩雷爾曼確認自己大功告成。他匿名在互聯網上宣布：龐加萊猜想已被證明！同時將無署名的論文發布在公開網戰上。開始人們以為這是個惡作劇，但仔細讀了他的論文後，發現此人功夫深不可測。有人猜到這可能是佩雷爾曼乾的。一時間各大學術網站沸騰了，有人為這個消息感到歡欣鼓舞，也有人頓首捶胸，不甘心自己多年的心血付之泡影，竟被一個無名人士搶了先。於是佩雷爾曼的論文受到一些人的懷疑和挑戰。在讓子彈飛了一會兒後，佩雷爾曼現身，承認是他搞的事情。但他不回覆任何質疑和挑戰，認定自己給出的是最終的證明。

在對佩雷爾曼的論文進行了歷經四年的嚴格評審後，國際數學屆正式於2006年認定這是對龐加萊猜想的最終證明。同年，國際數學聯盟決定授予佩雷爾曼以費爾茲獎。費爾茲獎每四年評選一次，人們常將它比作數學界的諾貝爾獎。順便說一句，丘成桐教授是第一位獲費爾茲獎的華人。另一位華人得獎者是生長於澳洲的天才數學家陶哲軒，他現為加州大學洛杉磯分校的教授。

令人相當不解的是，當佩雷爾曼得知國際數學聯盟要授予他費爾茲獎時，他明確表示不會接受。這時他已經離開了原來的工作單位，成為無業人員，和老母親住在一起，相依為命。至於他為什麼離開了原來的研究所，眾說紛紜。有人說他因為專註於龐加萊猜想的研究，好幾年都沒有發表一篇論文，通不過單位的年終考核，受到同事的排擠而離開。還有人說他證明了龐加萊猜想後，單位領導說可以為他申報俄羅斯科學院院士，他不以為然，得罪了領導，就辭職不幹了。失業後，他的生活很貧困，據鄰居說，他家裡只有幾件簡陋的傢俱，穿的毛衣上也是破洞。國際數學聯盟派專人到他家裡，試圖說服他同意接受該獎項，被他當面拒絕了。儘管如此，費爾茲獎的授獎儀式仍在當年西班牙主辦的國際數學家大會上如期舉行，西班牙國王受邀成為頒獎嘉賓。頒獎當天，人們期待佩雷爾曼會突然現身，然而沒有。當大會主席宣布將費爾茲獎授予佩雷爾曼時，會堂里仍然響起了熱烈的掌聲。

事後有人說，佩雷爾曼不去西班牙領獎，是因為沒有路費。但這顯然說不通，若他真想去，區區幾百美元路費，找國際數學聯盟要點資助不就行了。接下來發生的事更讓人瞠目結舌。2010年，格雷數學研究所決定覆行承諾，將100萬美元的千禧年大獎授於佩雷爾曼，再次被他拒絕了，理由是漢密爾頓應該和他共享這項獎，否則不公平。至此，佩雷爾曼完全從公眾的視線中消失了。後來紐約時報發了一篇報道，講述他的故事，說他放棄了百萬美元大獎，而寧願在俄羅斯的森林裡采蘑菇。